基本信息

副題名

外文題名

論文作者

張驊月著

導(dǎo)師

郭軍義指導(dǎo)

學(xué)科專業(yè)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

學(xué)位級別

博士論文

學(xué)位授予單位

南開大學(xué)

學(xué)位授予時間

2007

關(guān)鍵詞

布朗運(yùn)動 隨機(jī)分析 風(fēng)險分析 金融 保險

館藏號

F224.7

館藏目錄

2009\F224.7\4

中文摘要

自19世紀(jì)60年代，Mandelbrot使科學(xué)界注意"長程相關(guān)性"以來，這個概念變得越來越重要。如今，具有長程相關(guān)性的隨機(jī)模型已經(jīng)激發(fā)了人們很大的研究興趣，并且被成功地應(yīng)用到不同領(lǐng)域。例如，在排隊系統(tǒng)，流體模型，通信網(wǎng)絡(luò)模型，交通模型，儲存模型和金融。參閱[21]，[41]，[62]，[68]，[80]，[81]，[82]， [96]，[102]和[106]。 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動是一個常被使用的具有長程相關(guān)性的過程。關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的研究最早可追溯到Kolmogorov[58]，并命名為Wiener螺線。Mandelbrot和Van Ness在一篇開創(chuàng)性的論文[69]中首次提出了"分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動"這一名字。關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的詳細(xì)介紹，參閱[30]或[94]。 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動作為一種模擬工具有時比標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動更加靈活。它被用來模擬工程學(xué)，物理學(xué)和金融數(shù)學(xué)中的各式各樣的隨機(jī)數(shù)據(jù)。本文我們集中考慮它在保險金融中的應(yīng)用。 最近幾年保險金融正在蓬勃發(fā)展并且取得想當(dāng)豐碩的成果。集體風(fēng)險理論所關(guān)心的是保險公司的總資產(chǎn)和風(fēng)險余額的隨機(jī)波動。對于古典風(fēng)險模型，索賠過程是用一個具有空間齊次性和獨(dú)立增量性的復(fù)合泊松過程來描述的。根據(jù)過程的弱收斂，[52]用帶漂移的布朗運(yùn)動來近似風(fēng)險過程。在風(fēng)險理論中，一個擴(kuò)散近似的現(xiàn)代版本被[34]和[35]給出。由于它們比較完美的性質(zhì)，幾乎所有的精算變量包括破產(chǎn)時間、破產(chǎn)前余額、破產(chǎn)時赤字的精確結(jié)果都已經(jīng)被得到。近來，兩個風(fēng)險模型下的一些最優(yōu)問題包括再保險、投資和分紅被關(guān)注，并且部分已得到解決。 迄今，人們一直用具有馬爾科夫性的隨機(jī)過程來描述索賠過程。但在大部分情形下，保險公司的索賠過程呈現(xiàn)出長程相依性:給定時刻t后過程的行為，不僅依賴于t時刻的信息，而且還依賴于時刻t以前的歷史。這種現(xiàn)象是不容忽視的并且很可能對不同的問題產(chǎn)生影響，例如償付能力，定價及最優(yōu)再保險水平等等。因此，最近分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動被用來模擬保險公司可能面臨的索賠，(參閱[3]， [20]，[32]，[33]，[75]和[76])。 在幾何布朗運(yùn)動的框架下，Black和Scholes建立了著名的期權(quán)定價理論。然而，古典金融資產(chǎn)的數(shù)學(xué)模型仍不完善。兩個明顯的問題存在于Black-Scholes公式中，即金融資產(chǎn)的價格過程不總是高斯和馬爾科夫的。為了更好地描述金融資產(chǎn)的價格，人們引入了更一般的模型，例如重尾Levy過程和隨機(jī)波動率模型。后來，通過重標(biāo)極差法(R/S)，研究人員發(fā)現(xiàn)證券市場的波動有明顯的持久性，然后他們試著用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模擬股價和其他資產(chǎn)價格，參閱[36]，[37]和[70]。 研究包括分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的隨機(jī)微分方程所描述的系統(tǒng)是很自然的。在此體系下，一些標(biāo)準(zhǔn)問題，例如預(yù)報、參數(shù)估計和濾波已經(jīng)得到了很好的解決，參考[12]， [14]，[38]，[54]，[55]，[56]，[60]，[78]和[86]。保險和金融中的優(yōu)化問題已經(jīng)吸引了人們很大的興趣。然而，大部分的結(jié)果是在馬爾科夫控制系統(tǒng)下得到的。所以，在更廣的環(huán)境下研究最優(yōu)控制問題有其理論和實(shí)際價值。最近人們開始注意到分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動擾動的系統(tǒng)下的最優(yōu)控制間題。例如，[23]嘗試著去解一般的最優(yōu)間題。[46]和[47]莫定了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動市場上最優(yōu)理論和最優(yōu)消耗的基礎(chǔ)。[49]研究了stop-loss-start-gain投資組合并且給出了標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)定價的內(nèi)在價值和時間價值的Carr-Jarrow分解。 另一方面，線性二次規(guī)劃是一個典型而且重要的隨機(jī)控制類，它可以被解決通過一個相關(guān)的黎卡提方程。就我們知道的，[57]得到一?